Fyzika SŠ.realisticky.cz

PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ I - 5. příklad: Mám takový pocit, že koeficient by měl být obráceně q = b / l. Když vyjdu z příkladu 2, kde A\'B\'C\' ~ ABC (A\'B\'C\' je podobný ABC). Pak platí, že A\'B\' = k* AB. V př. 5 máme ABC ~ KLM, pak platí, že AC = q * KM. AC je strana b, KM je strana l, takže vztah můžeme napsat b = q * l. Po \"úpravě\" vyjde q = b / l. 

dodatek: Vím, že výsledky nakonec budou stejné. Ale kdybych podobně postupoval třeba u příkladu 8 a spletl poměry stran u koeficientu, vyšla by strana l = 27 (protože by: q = l / a), zatímco v řešení je uvedeno l = 3. Upřímně jsem tím teď trochu zmaten, u vás v učebnici se píše, že podobnost zapisujeme A\'B\'C\' ~ ABC (A\'B\'C\' je podobný ABC --> A\'B\' = k * AB). V učebnici planimetrie pro gymnázia (Prometheus) v kapitole 1.6 - podobnost trojúhelníků (str.35) píší, že podobnost trojúhelníků ABC, A\'B\'C\' zapisujeme ABC ~ A\'B\'C\', což je opačně jak uvádíte vy. Je mi jasné, že to co tady řeším je naprostá banalita, jakmile mám ale v příkladu zadaný koeficient, od kterého se odvíjí další výsledky je třeba znát přesně, zda platí: ABC ~ KLM --> AB = k * KL nebo KLM ~ ABC --> AB = k * KL. 

Omlouvám se za pozdní reakci, ale učebnice doma nemám, takže jsem si musel ve škole vzpomenout, půjčit si je od kolegů, abych se do nich podíval. Vidím to tahle: Pokud je trojúhelník ABC podobný trojúhelníku KLM je také trojúhelník KLM podobný trojúhelníku ABC. Pokud jde pouze o fakt podobnosti, je tedy jedno, v jaké pořadí o podobnosti mluvíme a i jak ji zapisujeme pomocí znaku ~. Druhá věc je používají poměrů, tam myslím, že jak já tak učebnice důsledně používáme, že pokud je první trojúhelník podobný druhému, tak se strana prvního vypočíta jako k násobek strany druhého. Alespoň jsem si nevšiml, že by to u mě nebo v učebnici bylo jinak. Je to takhle jasné? Čekám na Vaše vyjádření, abych udělal změny v učebnici. 

Pardon, vyjádřil jsem se asi trochu nemotorně. Nicméně po vaší odpovědi už je mi to jasné. Snad nevadí, že zkusím ještě napsat v čem byl problém. Předem se omlouvám za délku textu... To, že podobnost trojúhelníků je vzájemná, mi je jasné. V tom byl možná právě i ten zádrhel. Trojúhelník A\'B\'C\' je podobný trojúhelníku ABC, právě když existuje číslo k tak, že platí: c\' = k * c... Bral jsem to tak, že A\'B\'C\' je obrazem trojúhelníku ABC (= ABC je jeho vzorem) --> koeficient k určuje o kolik bude obraz A\'B\'C\' větší nebo menší než ABC. A\'B\'C\' je podobný trojúhelníku ABC, nebo-li A\'B\'C\' ~ ABC. V učebnici pro gymnázia je pod šedým rámečkem (A\'B\'C\' je podobný ABC, právě když existuje...) naopak uveden zápis ABC ~ A\'B\'C\', tudíž A\'B\'C\' je podobný ABC, zapíšu jako ABC ~ A\'B\'C\'. Tak a jak je to vlastně teď s tím koeficientem k? A\'B\'C\' ~ ABC, k = 3 --> takže trojúhelník A\'B\'C\' je 3x větší než ABC. ABC ~ A\'B\'C\', k = 3 --> takže trojúhelník A\'B\'C\' je 3x větší než ABC. Nejspíš platí obojí, vycházíme přece z trojúhelníku ABC a jeho obrazem je A\'B\'C\' (koeficient, který je uveden u příkladů mi musí určovat o kolik je trojúhelník A\'B\'C\' větší/menší než originální trojúhelník ABC). Tak a nastává zmatek... co když body A\'B\'C\' přejmenujeme na KLM? Jak poznat k čemu se teď vztahuje koeficient, co je obraz a co originál? Dobře, zkusím se odrazit od druhého příkladu z vaší učebnice: A\'B\'C\' ~ ABC s koeficientem k --> A\'B\' = k * AB. Jasně, takže obraz vždy bude první z trojúhelníků. Teď jdu spočítat pátý příklad: \"Pro trojúhelníky platí, že ABC ~ KLM. Urči zbývající strany.\" (neznám koeficient) Použiju stejný postup jako je v příkladu dva (podle něj bude obrazem trojúhelník ABC a vycházet budeme z KLM): AC = q * KM. AC = b, KM = l --> b = q * l. Neznámý koeficient pro podobnost trojúhelníků se rovná q = b / l (podobnost: ABC ~ KLM s koeficientem: q = b/l). V uvedeném řešení je ale přesně opačný koeficient (v rozporu s podobností v pořadí ABC ~ KLM). K jakému z trojúhelníků mám teda vztahovat koeficient? Že by přece jenom platil zápis uvedený v učebnici pro gymnázia ABC ~ A\'B\'C\' s koeficientem k. Pak by v příkladu pět nebyl obrazem trojúhelník ABC, ale KLM a vzorem by byl právě ABC --> platilo by: KM = q * AC. KM = l, AC = b, tudíž l = q * b --> q = l/b (podobnost: ABC ~ KLM) Můj výsledek se teď shoduje s řešením, takže platí nejspíš zápis uvedený v učebnici pro gymnázia. V příkladu osm se ale opět dostávám do stejného rozporu. Viz mé komentáře výše. Lehce ignoruju fakt, že podobnost je vzájemná. Podobnost platí mezi oběma trojúhelníky oboustranně, tudíž je správně i koeficient, co je v řešení u druhého příkladu q = l/b a můžeme s ním správně příklad vyřešit (ale platí pro zápis KLM~ ABC, že ano?), a vlastně je jak váš zápis podobnosti, tak i ten v učebnici správně (A\'B\'C\' ~ ABC a ABC ~ A\'B\'C\'). Věta \"pokud je první trojúhelník podobný druhému, tak se strana prvního vypočíta jako k násobek strany druhého.\" mi přijde docela zásadní, jinak bych byl asi stále na pochybách... Co kdybych měl třeba příklad: Máme trojúhelník ABC o stránách a=3, b=4, c=5. Platí, že ABC ~ KLM (jsou si tedy vzájemně podobné) s koeficientem podobnosti q = 2. Urči velikosti stran v trojúhelníku KLM. Upřímně teď bych byl v úzkých, ačkoliv se jedná o naprosto primitivní příklad. Nevěděl bych, zda je KLM 2x větší či menší jak ABC. Přijde mi, že v učebnici prostě není výrazněji zdůrazněno k čemu se váže koeficient při konkrétním zápisu podobnosti ( ABC ~ KLM, ABC ~ A\'B\'C\' apod.) 

Přidal jsem do učebnice po příkladu 2 dodatek. Myslíte, že to stačí? 

Teď už by mi určitě nečinilo takové obtíže si kapitolu o podobnosti nastudovat. Myslím, že dodatek je dostačující. Možná bych ještě doplnil: Trojúhelník A\'B\'C\' je podobný trojúhelníku ABC s koeficientem k = 3 (trojúhelník A\'B\'C\' je třikrát větší než trojúhelník ABC). Důležitá je ale hlavně ta poslední část s dohodou, jak spočítat strany u prvního uvedeného trojúhelníka. Takže si myslím, že to takhle určitě stačí.